2019-2020学年高三年级上学期校内第一次质量检测试题-文科数学（含答案）

时间：2022-03-06 14:19:25 浏览量：

2019-2020学年高三校内第一次质量检测试题文科数学全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设复数，，则在复平面内对应点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.设集合，，则（）
A. B. C. D. 3.已知函数，则＝(　　) A．8 B．5 C．17 D．11 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则＝（）
A．9 　 B.-9 　 C.45 　 D.-45 5.下列叙述正确的是 A. 若x≠0,则x+1x≥2 B. 方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)表示的曲线是椭圆 C. “b2=ac”是“数列a,b,c为等比数列”的充要条件 D. 若命题P：∃x0∈R,x02-x0+1<0,则¬p:∀x∈R,x2-x+1≥0 6.已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（）
A.4 B.5 C.8 D.10 7.如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为，那么在区间上是（）
A.增函数且最小值为 B.增函数且最大值为 C.减函数且最小值为 D.减函数且最大值为 8. 当时，下列不等式中正确的是（）
A. B. C. D. 9. 设α,β,γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题，①若α⊥β,β⊥γ，则α⊥γ；

②若l 上两点到α的距离相等，则l//α；

③若l⊥α,l//β，则α⊥β；
④若α//β,l⊄β，且l//α，则l//β．其中正确的命题是( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 10. 已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(-1)=-1，则f(2017)+f(2016)=( ) A. -2 B. 1 C. 0 D. -1 11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（）
A． B． C． D． 12. 若函数=ax,x≥1(4-a2)x+2,x<1且在上为增函数，则实数的取值范围是（）
A. (1,+∞) B. 4,8 C. (4,8) D. (1,8) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数，则 ______． 14. 如图，直三棱柱的正（主）视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为__ ． 15. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为 . 16. 已知函数，对任意，且，都有，则实数的取值范围是 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

17.（本小题12分）如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。

（１）证明：平面平面；

（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 18. （本小题12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2019年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量万件与促销费用万元满足（其中，为正常数）．已知生产该批产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为()元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19. （本小题12分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分别为AB，VA的中点． (1) 求证：OC⊥平面VAB ；

(2) 求直线VC和平面VAB所成角的正切值；

(3) 求三棱锥A-VBC的体积． 20. （本小题12分）
已知抛物线和动直线.直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线的交点为. ﹙1﹚当时,求以为直径的圆的方程; ﹙2﹚求面积的最小值． 21. （本小题12分）已知函数，．（1）若，求的最大值；

（2）当时，求证：．第22、23题为选做题，请考生在第22、23题中任选一题作答。本小题满分10分，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为，现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆的极坐标方程；

（2）设，是圆上两个动点，满足，求的最小值. 23. 已知函数，，（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求不等式的解集. 附加题：
24. （本小题10分）对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0)，若存在实数x0，使fx0=x0 成立，则称x0为f(x)的不动点. （1）当时，求f(x)的不动点；

（2）若对于任何实数，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)的图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线y=kx+12a2+1是线段AB的垂直平分线，求实数b的最小值. 文科数学一．选择题（每小题5分，共计60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A A C D D B A D B C B 二．填空题（每小题5分，共计20分）
13. 1 14. 23 15. 16. 三．解答题：
17.（本小题12分）
（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以………………2分又，因此平面………………3分而平面，所以平面平面………………5分（2）设的中点为，连结, 因为是正三角形，所以又三棱柱是直三棱柱，所以因此平面，于是为直线与平面所成的角，………………8分由题设，，所以………………9分在中，，所以………………10分故三棱锥的体积………………12分 18. （本小题12分）
解：（Ⅰ）由题意知，，………………（3分）
将代入化简得：（0≤x≤a）．………………（6分）
（Ⅱ）
当a≥1时，x∈（0，1）时y＇＞0，所以函数在（0，1）上单调递增 x∈（1，a）时y＇＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

………………（9分）
当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增, 所以在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．………（11分）
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；

当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大 ………………（12分）
（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）
19. （本小题12分）
(1)证明：∵AC=BC，O为AB的中点， ∴OC⊥AB，………………2分 ∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC， ∴OC⊥平面VAB；
………………4分 (2)解：连结VO，由（1）得OC⊥平面VAB， ∴∠CVO是直线VC和平面VAB所成角，………………5分在等腰直角三角形ACB中，AV=BC=2，所以AB=2,OC=1，………………6分在等边△VAB中，O为AB的中点， ∴VO⊥AO，VO=AOtan30°=3， ∵OC⊥平面VAB，OV⊂平面VAB，∴OC⊥OV，∴tan∠CVO=COVO=13=33，即直线VC和平面VAB所成角的正切值为33；
………………8分 (3)解：因为AB=2,OC=1 ．所以等边三角形VAB的面积SΔVAB=3 ．………………9分又因为OC⊥平面VAB，所以VA-VBC=VC-VAB=13⋅OC⋅SΔVAB=33，………………11分所以三棱锥A-VBC的体积为．………………12分 20. （本小题12分）
解: 设. ﹙1﹚ 解法一:联立,消去得, 所以 ……………………1分显然直线过抛物线的焦点 , . ……………………2分设线段的中点坐标为,则,. ………3分则以为直径的圆的方程为. ……………………4分 ﹙2﹚ 解法二: 联立,消去得, 得 . ……………………1分则 ……………………2分设线段的中点坐标为,则,, ……………………3分则以为直径的圆的方程为. ……………………4分解法三:联立,消去得,设解得 ……………………2分则设线段的中点坐标为,则,, …………………3分则以为直径的圆的方程为. ……………………4分 ﹙2﹚由得. ……………………5分易得直线,直线联立 …………………7分由(1)得由(2)同理可得. 由,得, 得联立得,则. 所以, .即 ……………………8分所以 ……………………9分点到直线的距离. ……………………10分所以 ……………………11分显然,当时, 的面积最小,最小值为. ……………………12分 21. （本小题12分）
（1）当时， ………………1分由，得，所以时，；
时，，因此的单调递减区间为，单调递增区间为，………………4分 ∴的最大值为．………………5分（2）证明：先证，令，………………6分则，由，与的图象易知，存在，使得，………………8分故时，；
时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，………………9分所以的最大值为，而，，………………10分又由，，所以………11分当且仅当，或，取“”成立，即．………………12分 22. （本小题10分）
（I）圆的直角坐标方程为，即，………………2分化为极坐标方程为，整理可得：；
………………4分（II）设， ………………5分， ………………8分由，得，，故，即的最小值为．………………10分 23. （本小题10分）
（ I），………………2分由题意知，得，解得；

………………4分（II）不等式为，即，若，显然不等式无解；
………………5分若，则． ①当时，不等式为，解得，所以；

………………6分 ②当时，不等式为，恒成立，所以；
………………7分 ③当时，不等式为，解得，所以；
………………8分综上所述，当时，不等式的解集为空集，当时，解集为． ………………10分附加题（本小题10分）：
解∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0), （1）当a=2,b=－2时， f(x)=2x2-x-4. 设x为其不动点，即2x2-x-4=x. 则2x2-2x-4=0. 的不动点是－1，2. ………………2分（2）由f(x)=x得： . 由已知，此方程有相异二实根， Δx>0恒成立，即b2-4a(b-2)>0.即对任意b∈R恒成立. ∴Δb<0,∴16a2-32a<0,∴0<a<2. ………………5分（3）设A(x1,x1),B(x2,x2)，直线y=kx+12a2+1是线段AB的垂直平分线，∴k=-1 ………………7分记AB的中点由（2）知x0=-b2a, ………………8分化简得：时，等号成立）. 即b≥-24. ………………9分所以 ……………10分

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